Lagrange Points - Libračné body

-

Lagrange-ove body alebo Libračné body v nebeskej mechanike sú také body v sústave dvoch telies rotujúcich okolo spoločného ťažiska, v ktorom sa vyrovnávajú gravitačné a odstredivé sily sústavy tak, že malé teleso umiestené do tohoto bodu nemení voči sústave svoju polohu.
Všetky libračné body sa nachádzajú v rovine rotácie telies m1 a m2 a je ich celkom päť. 
Označujú sa L1, L2, L3, L4 a L5. 
L1, L2 a L3 sú na priamke spojujúcu telesá m1 a m2 a sú nestabilné, teleso m3 z nich utečie (dá sa udržať jemnými manévrami motorov).
L4 a L5 tvoria vrchol rovnostranného trojuholníka a sú stabilné.

Existenciu takýchto bodov odvodil francúzsky matematik a astronóm Joseph-Louis Lagrange v roku 1772.
V roku 1906 sa objavili prvé príklady:  Trojanské asteroidy, pohybujúce sa na obežnej dráhe Jupitera pod vplyvom gravitácie Jupitera a Slnka.

Libračné body sústavy Slnko - Zem nad grafom efektívneho potenciálu:
Vrstevnice sú hladiny rovnakého potenciálu,( equidistant, contours of equal potential).


Graf z Octave, μ=0.01
Vizualizácia efektívneho potenciálu (Ueff červený model s bielymi čiarami ekvipotenciálu), Libračné body (modré v rovine obežnej dráhy a čierna ich projekcia na Ueff) a planéta obiehajúcu hviezdu (červené body v mierke ich hmotnosti μ=0.01).

Libračné body sústavy Slnko - Zem:
Earth Moon
Zem-Mesiac rotuje okolo barycentra a je znázornená rovnováha síl: gravitačná k Zemi a Mesiacu a odstredivá k barycentru.

L3 leží vo vnútri kružnice Zem - Mesiac, nad obežnou drahou Mesiaca okolo barycentra.
Bod gravitačnej rovnováhy Zem - Mesiac leží medzi L1 a Mesiacom.


Veľkosť a smer gravitačnej sily Zeme, Mesiaca, odstredivej sily a ich rovnováha v libračných bodoch L1, L2, L3 , L4 a L5:

Gravitačná sila Mesiaca v L3 a L4 L5 je tak malá, že na grafe skoro nie je vidieť.


Výpočet polomerov r Lagrangeových bodov podľa Wikipédie pre Slnko -Zem, Zem - Mesiac a Slnko - Jupiter.
Výpočet cez Ueff je presnejší. Výpočet podľa Wipikpedie pre Zem-Mesiac má cca 6% nepresnosť.
Riadok 43 a 44 udáva vzdialenosť gravitačnej rovnováhy, gravitačné sily telesa m1 a m2 sú si v nej rovné, teda ak by telesa nerotovali v tom mieste je nulová gravitácia.

Presnejší výpočet:


Správnu hodnotu vzdialenosti v km udáva španielská Wikipedia.
SystemDistanceL11-L1/SEM %L2L2/SEM-1 %L3(1+L3/SEM)*100 %
Earth-Moon3.844×105 km3.2639×105 km15.094.489×105 km16.78−3.8168×105 km0.7084
Sun-Mercur5.7909×107 km5.7689×107 m0.38065.813×107 km0.3815−5.7909×107 km0.0009683
Sun-Venus1.0821×108 km1.072×108 km0.93151.0922×108 km0.9373−1.0821×108 km0.01428
Sun-Earth1.496×108 km1.4811×108 km0.9971.511×108 km1.004−1.496×108 km0.01752
Sun-Mars2.2794×108 km2.2686×108 km0.47482.2903×108 km0.4763−2.2794×108 km0.001882
Sun-Júpiter7.7834×108 km7.2645×108 km6.6678.3265×108 km6.978−7.7791×108 km5.563
Sunl-Saturn1.4267×109 km1.3625×109 km4.4961.4928×109 km4.635−1.4264×109 km1.667
Sun-Uran2.8707×109 km2.8011×109 km2.4212.9413×109 km2.461−2.8706×109 km0.2546
Sun-Neptun4.4984×109 km4.3834×109 km2.5574.6154×109 km2.602−4.4983×109 km0.3004

Lagrange points animation Eart Moon:


Sústava Pluto a Cháron a libračné body:
Pomer hmotnosti je 8,6, tak graf vyzerá krajšie.
Vzdialenosť Pluto a Cháron je 19 600 km, barycentrum je 860 km na povrchom Pluta(polomer 1 187 km) a bod gravitačnej rovnováhy je 14 591 od stredu Pluta.
Lagrangeove body L4 a L5 sú stabilné, za predpokladu, že pomer M1 / ​​M2 je väčší ako 24,96.

Pluto a Cháron majú plnú viazanú rotáciu, pozerajú sa stále na seba v tvári v tvár. A tak ako mi nevidíme odvrátenú stranu Mesiaca, tak Pluto nevidí odvrátenú stranu Chárona, ale aj Cháron nevidí odvrátenú stranu Pluta.



Popularizačné video o Lagrange points:




Pekne vysvetlené prečo satelit v L1 a L2 obieha okolo Slnka s rovnakou periodou ako Zem je na:
http://www.esa.int/Our_Activities/Operations/What_are_Lagrange_points


Stabilita libračných bodov

Jednoducho sa dá znázorniť cez funkciu Jacobiho integrálu:

Predstavme si guličku/kvapku vody, ako steká po ploche grafu a natečie do najnižšieho miesta,

v L1, L2 a L3 sa neudrží, sú to sedlá z ktorých stečie/skotúľa sa do najnižšieho bodu a to L4 alebo L5.


Jacobi constant Cj=2* U - v^2
kde U:





Výhodou Jacobi konštanty je znormovanie grafu na parameter μ, μ=m2/(m1+m2), ktorý vyjadruje pomer hmotnosti ale aj vzdialenosti bodov m1 a m2 od barycentra, x1=μ, x2=1-μ, x1+x2= 1.
Zjednodušene povedané je to prevrátený graf efektívneho potenciálu.


Pekné video o Trojanoch Jupitera:



Komentáre

Zverejnenie komentára

Obľúbené príspevky z tohto blogu

Flat Earth - Plochá Zem

-
Obraz
https://en.wikipedia.org/wiki/Flat_Earth https://en.wikipedia.org/wiki/Modern_flat_Earth_societies "Flat-Earth" map drawn by Orlando Ferguson in 1893: Pozornosť si zaslúži poznámka vpravo o lietajúcich mužoch: Títo muži lietajú po celom svete rýchlosťou 65 000 míľ za hodinu okolo slnka a 1,042 míľ za hodinu okolo stredu krajiny (v ich mysli). Myslite na túto rýchlosť! Pozn. Orlando Ferguson bol developer nehnuteľností, titul profesor si udelil len na obrázku. flat-earth-theory-revealed-map Google translate: V roku 1893, Orlando Ferguson, developer nehnuteľností so sídlom v Južnej Dakote, nakreslil mapu Zeme, ktorá spojila biblické a vedecké vedomosti jedinečným spôsobom. Mapka sprevádzala 92-stranovú prednášku o tom, že Ferguson - označovaný ako "profesor" - prednáša v meste za mestom a cestuje ďaleko a hlboko, aby zdieľa svoju geografickú teóriu, zdôraznenú jeho vierou, že Zem bola plochá. Fergusonova mapa reprezentuje Zem ako obrovskú
Čítať ďalej

Earth model World Geodetic System 1984 and Geoid

-
Obraz
WGS84 je rotačný elipsoid s polosami 6378 x 6356 km Geoid je vlastne plocha, ktorá zodpovedá strednej hladine oceánu, a to aj tam kde je pevnina. Prehnane zobrazenie: Hodnota W 0 geopotenciálu, ktorú prijala IAU , je 62636856 m2 s-2 Tiažové zrýchlenie pre konkrétne miesto sa vypočíta: g=W 0 / r = 62636856 / 6378137 = 9,820557 m s-2 g=W 0  / r = 62636856 / 6356752 = 9,853594 m s-2 r - rádius miesta pre ktoré chcem spočítať gravitačné zrýchlenie, (rovník, pól) A aký je rozdiel medzi WGS84 a geoidom EGM96, je to cca +-100 m: Ako je to z výškou: Červená výška N je to zobrazenie nad týmto obrázkom. h je údaj, ktorý nám dá GPS. Equatorial (a), polar (b) and mean Earth radii as defined in the 1984 World Geodetic System revision (not to scale) Candidate Locations for Extreme Values of Earth’s Gravity Field Gravity Component /Latitude/Longitude Geographic Feature/Location Gravity acceleration Minimum 9.76392 m/s2 9.12°/77.6
Čítať ďalej

Lunar Libration

-
Obraz
Optical libration is the wagging of the Moon perceived by Earth -bound observers caused by changes in their perspective. Moon  Libration 2019 Sep 17 20:00 UTC, Lat 6.2N, Long 4.7W Moon Phase, Libration and Position Angle 2019 Sep 17 20:00 UTC Moon Libration in September 2019 "Over the course of a lunar cycle we can see more than 50% of the Moon's surface from Earth. This is because of a combination of effects which are known as "librations" of the Moon. If we view the face of the Moon over the course of its orbit in fast motion, it is as if the Moon is both nodding its head "yes" and shaking its head"no" at the same time. The lunar libration in latitude is due to the Moon's axis being slightly inclined relative to the Earth's axis. From our angle we can at one time peek over the north pole of the Moon, and then later in the lunar month we peek under the south pole. Over the entire fo
Čítať ďalej

Time shift CET - CEST, Striedanie času SEČ - LSEČ

-
Obraz
Časové pásma: Časové pásmo je oblasť okolo poludníka, ktorá používa rovnaký štandardný čas - pásmový čas a na Zemi, ak použijeme hodinový posun, vznikne 24 základných časových pásiem, teda vychádza to na 15°, 360° na rovníku deleno 24 hodín je 15°, zemepisnej dĺžky na posun o 1 hodinu oproti  koordinovaného svetového času UTC (anglicky Coordinated Universal Time, francouzsky Temps Universel Coordonné). Základným časovým pásmom je pásmo okolo nultého poludníka , ktorý prechádza Kráľovskou hvezdárňou v Greenwichi (Londýn, Anglicko). Z tohto dôvodu sa pásmovému času zodpovedajúcemu UTC niekedy hovorí greenwichský stredný čas (GMT, Greenwich Mean Time). V Európe sú časové pásma: UTC+0 - UTC Z (Zulu), GMT (Greenwich Mean Time), WET (West European Time) UTC+1 - CET (Central European Time), SEČ (Stredoeurópsky čas)  UTC+2 - EET ( East European Time), VEČ (Východoeurópsky čas) UTC+3 - FET (Further-eastern European Time / Moscow Time / Turkey Time), MSK (Moskovsky čas)
Čítať ďalej