Lagrange Points - Libračné body

Lagrange-ove body alebo Libračné body v nebeskej mechanike sú také body v sústave dvoch telies rotujúcich okolo spoločného ťažiska, v ktorom sa vyrovnávajú gravitačné a odstredivé sily sústavy tak, že malé teleso umiestené do tohoto bodu nemení voči sústave svoju polohu.
Všetky libračné body sa nachádzajú v rovine rotácie telies m1 a m2 a je ich celkom päť. 
Označujú sa L1, L2, L3, L4 a L5. 
L1, L2 a L3 sú na priamke spojujúcu telesá m1 a m2 a sú nestabilné, teleso m3 z nich utečie (dá sa udržať jemnými manévrami motorov).
L4 a L5 tvoria vrchol rovnostranného trojuholníka a sú stabilné.

Existenciu takýchto bodov odvodil francúzsky matematik a astronóm Joseph-Louis Lagrange v roku 1772.
V roku 1906 sa objavili prvé príklady:  Trojanské asteroidy, pohybujúce sa na obežnej dráhe Jupitera pod vplyvom gravitácie Jupitera a Slnka.

Libračné body sústavy Slnko - Zem nad grafom efektívneho ponenciálu:

Libračné body sústavy Slnko - Zem:
Earth Moon
Zem-Mesiac rotuje okolo barycentra a je znázornená rovnováha síl: gravitačná k Zemi a Mesiacu a odstredivá k barycentru.

L3 leží vo vnútri kružnice Zem - Mesiac, nad obežnou drahou Mesiaca okolo barycentra.
Bod gravitačnej rovnováhy Zem - Mesiac leží medzi L1 a Mesiacom.


Veľkosť a smer gravitačnej sily Zeme, Mesiaca, odstredivej sily a ich rovnováha v libračných bodoch L1, L2, L3 , L4 a L5:

Gravitačná sila Mesiaca v L3 a L4 L5 je tak malá, že na grafe skoro nie je vidieť.


Výpočet polomerov r Lagrangeových bodov podľa Wikipédie pre Slnko -Zem, Zem - Mesiac a Slnko - Jupiter.
Výpočet cez Ueff je presnejší. Výpočet podľa Wipikpedie pre Zem-Mesiac má cca 6% nepresnosť.
Riadok 43 a 44 udáva vzdialenosť gravitačnej rovnováhy, gravitačné sily telesa m1 a m2 sú si v nej rovné, teda ak by telesa nerotovali v tom mieste je nulová gravitácia.

Správnu hodnotu vzdialenosti v km udáva španielská Wikipedia.
SystemDistanceL11-L1/SEM %L2L2/SEM-1 %L3(1+L3/SEM)*100 %
Earth-Moon3.844×105 km3.2639×105 km15.094.489×105 km16.78−3.8168×105 km0.7084
Sun-Mercur5.7909×107 km5.7689×107 m0.38065.813×107 km0.3815−5.7909×107 km0.0009683
Sun-Venus1.0821×108 km1.072×108 km0.93151.0922×108 km0.9373−1.0821×108 km0.01428
Sun-Earth1.496×108 km1.4811×108 km0.9971.511×108 km1.004−1.496×108 km0.01752
Sun-Mars2.2794×108 km2.2686×108 km0.47482.2903×108 km0.4763−2.2794×108 km0.001882
Sun-Júpiter7.7834×108 km7.2645×108 km6.6678.3265×108 km6.978−7.7791×108 km5.563
Sunl-Saturn1.4267×109 km1.3625×109 km4.4961.4928×109 km4.635−1.4264×109 km1.667
Sun-Uran2.8707×109 km2.8011×109 km2.4212.9413×109 km2.461−2.8706×109 km0.2546
Sun-Neptun4.4984×109 km4.3834×109 km2.5574.6154×109 km2.602−4.4983×109 km0.3004

Lagrange points animation Eart Moon:


Sústava Pluto a Cháron a libračné body:
Pomer hmotnosti je 8,6, tak graf vyzerá krajšie.
Vzdialenosť Pluto a Cháron je 19 600 km, barycentrum je 860 km na povrchom Pluta(polomer 1 187 km) a bod gravitačnej rovnováhy je 14 591 od stredu Pluta.
Lagrangeove body L4 a L5 sú stabilné, za predpokladu, že pomer M1 / ​​M2 je väčší ako 24,96.

Pluto a Cháron majú plnú viazanú rotáciu, pozerajú sa stále na seba v tvári v tvár. A tak ako mi nevidíme odvrátenú stranu Mesiaca, tak Pluto nevidí odvrátenú stranu Chárona, ale aj Cháron nevidí odvrátenú stranu Pluta.



Popularizačné video o Lagrange points:




Pekne vysvetlené prečo satelit v L1 a L2 obieha okolo Slnka s rovnakou periodou ako Zem je na:


Stabilita Libračných bodov

Jednoducho sa dá znázorniť cez funkciu Jacobiho integrálu:

Predstavme si guličku/kvapku vody, ako steká po ploche grafu a natečie do najnižšieho miesta,

v L1, L2 a L3 sa neudrží, sú to sedlá z ktorých stečie/skotúľa sa do najnižšieho bodu a to L4 alebo L5.


Jacobi constant Cj=2* U - v^2
kde U:





Výhodou Jacobi konštanty je znormovanie grafu na parameter μ, μ=m2/(m1+m2), ktorý vyjadruje pomer hmotnosti ale aj vzdialenosti bodov m1 a m2 od barycentra, x1=μ, x2=1-μ, x1+x2= 1.
Zjednodušene povedané je to prevrátený graf efektívneho potenciálu.


Pekné video o Trojanoch Jupitera:



Komentáre

Obľúbené príspevky z tohto blogu

Jacobi constant

Parker Solar Probe

what color does the sun have? Akú farbu má Slnko?