Lagrange Points - Libračné body
Všetky libračné body sa nachádzajú v rovine rotácie telies m1 a m2 a je ich celkom päť.
Označujú sa L1, L2, L3, L4 a L5.
L1, L2 a L3 sú na priamke spojujúcu telesá m1 a m2 a sú nestabilné, teleso m3 z nich utečie (dá sa udržať jemnými manévrami motorov).
L4 a L5 tvoria vrchol rovnostranného trojuholníka a sú stabilné.
Existenciu takýchto bodov odvodil francúzsky matematik a astronóm Joseph-Louis Lagrange v roku 1772.
V roku 1906 sa objavili prvé príklady: Trojanské asteroidy, pohybujúce sa na obežnej dráhe Jupitera pod vplyvom gravitácie Jupitera a Slnka.
Libračné body sústavy Slnko - Zem nad grafom efektívneho potenciálu:
Existenciu takýchto bodov odvodil francúzsky matematik a astronóm Joseph-Louis Lagrange v roku 1772.
V roku 1906 sa objavili prvé príklady: Trojanské asteroidy, pohybujúce sa na obežnej dráhe Jupitera pod vplyvom gravitácie Jupitera a Slnka.
Libračné body sústavy Slnko - Zem nad grafom efektívneho potenciálu:
 |
| Vrstevnice sú hladiny rovnakého potenciálu,( equidistant, contours of equal potential). |
Graf z Octave, μ=0.01
 |
| Vizualizácia efektívneho potenciálu (Ueff červený model s bielymi čiarami ekvipotenciálu), Libračné body (modré v rovine obežnej dráhy a čierna ich projekcia na Ueff) a planéta obiehajúcu hviezdu (červené body v mierke ich hmotnosti μ=0.01). |
Libračné body sústavy Slnko - Zem:
Zem-Mesiac rotuje okolo barycentra a je znázornená rovnováha síl: gravitačná k Zemi a Mesiacu a odstredivá k barycentru.
Bod gravitačnej rovnováhy Zem - Mesiac leží medzi L1 a Mesiacom.
Veľkosť a smer gravitačnej sily Zeme, Mesiaca, odstredivej sily a ich rovnováha v libračných bodoch L1, L2, L3 , L4 a L5:
Gravitačná sila Mesiaca v L3 a L4 L5 je tak malá, že na grafe skoro nie je vidieť.
Výpočet polomerov r Lagrangeových bodov podľa Wikipédie pre Slnko -Zem, Zem - Mesiac a Slnko - Jupiter.
Riadok 43 a 44 udáva vzdialenosť gravitačnej rovnováhy, gravitačné sily telesa m1 a m2 sú si v nej rovné, teda ak by telesa nerotovali v tom mieste je nulová gravitácia.
Presnejší výpočet:
Správnu hodnotu vzdialenosti v km udáva španielská Wikipedia.
| System | Distance | L1 | 1-L1/SEM % | L2 | L2/SEM-1 % | L3 | (1+L3/SEM)*100 % |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Earth-Moon | 3.844×105 km | 3.2639×105 km | 15.09 | 4.489×105 km | 16.78 | −3.8168×105 km | 0.7084 |
| Sun-Mercur | 5.7909×107 km | 5.7689×107 m | 0.3806 | 5.813×107 km | 0.3815 | −5.7909×107 km | 0.0009683 |
| Sun-Venus | 1.0821×108 km | 1.072×108 km | 0.9315 | 1.0922×108 km | 0.9373 | −1.0821×108 km | 0.01428 |
| Sun-Earth | 1.496×108 km | 1.4811×108 km | 0.997 | 1.511×108 km | 1.004 | −1.496×108 km | 0.01752 |
| Sun-Mars | 2.2794×108 km | 2.2686×108 km | 0.4748 | 2.2903×108 km | 0.4763 | −2.2794×108 km | 0.001882 |
| Sun-Júpiter | 7.7834×108 km | 7.2645×108 km | 6.667 | 8.3265×108 km | 6.978 | −7.7791×108 km | 5.563 |
| Sunl-Saturn | 1.4267×109 km | 1.3625×109 km | 4.496 | 1.4928×109 km | 4.635 | −1.4264×109 km | 1.667 |
| Sun-Uran | 2.8707×109 km | 2.8011×109 km | 2.421 | 2.9413×109 km | 2.461 | −2.8706×109 km | 0.2546 |
| Sun-Neptun | 4.4984×109 km | 4.3834×109 km | 2.557 | 4.6154×109 km | 2.602 | −4.4983×109 km | 0.3004 |
Lagrange points animation Eart Moon:
Sústava Pluto a Cháron a libračné body:
Vzdialenosť Pluto a Cháron je 19 600 km, barycentrum je 860 km na povrchom Pluta(polomer 1 187 km) a bod gravitačnej rovnováhy je 14 591 od stredu Pluta.
Lagrangeove body L4 a L5 sú stabilné, za predpokladu, že pomer M1 / M2 je väčší ako 24,96.
Pluto a Cháron majú plnú viazanú rotáciu, pozerajú sa stále na seba v tvári v tvár. A tak ako mi nevidíme odvrátenú stranu Mesiaca, tak Pluto nevidí odvrátenú stranu Chárona, ale aj Cháron nevidí odvrátenú stranu Pluta.
Popularizačné video o Lagrange points:
Pekne vysvetlené prečo satelit v L1 a L2 obieha okolo Slnka s rovnakou periodou ako Zem je na:
Stabilita libračných bodov
Jednoducho sa dá znázorniť cez funkciu Jacobiho integrálu:
Predstavme si guličku/kvapku vody, ako steká po ploche grafu a natečie do najnižšieho miesta,
v L1, L2 a L3 sa neudrží, sú to sedlá z ktorých stečie/skotúľa sa do najnižšieho bodu a to L4 alebo L5.
Jacobi constant Cj=2* U - v^2
kde U:
Výhodou Jacobi konštanty je znormovanie grafu na parameter μ, μ=m2/(m1+m2), ktorý vyjadruje pomer hmotnosti ale aj vzdialenosti bodov m1 a m2 od barycentra, x1=μ, x2=1-μ, x1+x2= 1.
Zjednodušene povedané je to prevrátený graf efektívneho potenciálu.
Pekné video o Trojanoch Jupitera:
Komentáre
Zverejnenie komentára