Bod gravitačnej rovnováhy a libračný bod
Gravitačná rovnováha a libračný bod sú dva rozdielne pojmy.
Vo fyzike sa to rieši cez rovnováhu síl:
Fzem=Fmesiac
G*Mz*m/Rz2=G*Mm*m/Rm2
po vykrátení a Dz-m=Rz+Rm
je tu vzoreček
Rz=Dz-m/(1+SQRT(Mm/Mz))
ak dáme 384 000 km, hmotnosť Zeme 5.972*10^24 kg, Mesiaca 7.342*10^22 kg
Rz=345 672,4 km
Je to riešenie pre dva hmotné body bez pohybu ( alebo v rovnomernej rýchlosti).
Len poznámočka - ak sa podarí nájsť okrem týchto 5-tých bodov ďalší, kde by sa mohol nachádzať vesmírny materiál, tak to je Nobelovú cenu.
a link wolfram demo
http://demonstrations.wolfram.com/LagrangePoints/
riešenie bodu gravitačnej rovnováhy cez gravitačný potenciál Up=-G*M/r:
funkcia Up (zelená), jej derivácia je červená a x vyznačuje hodnotu derivácie = 0.
x=345 673,1 km od stredu Zeme.
Bod gravitačnej rovnováhy
Vo fyzike sa to rieši cez rovnováhu síl:
Fzem=Fmesiac
G*Mz*m/Rz2=G*Mm*m/Rm2
po vykrátení a Dz-m=Rz+Rm
je tu vzoreček
Rz=Dz-m/(1+SQRT(Mm/Mz))
ak dáme 384 000 km, hmotnosť Zeme 5.972*10^24 kg, Mesiaca 7.342*10^22 kg
Rz=345 672,4 km
Je to riešenie pre dva hmotné body bez pohybu ( alebo v rovnomernej rýchlosti).
Libračný bod
Ak Mesiac obieha okolo Zeme, tak tam vstupuje odstredivá sila, ktorá drží Mesiac tam kde je a ktorá pôsobí aj na teleso, ktoré má byť v rovnováhe. A tak logicky musí byť bližšie k Zemi a sme u Lagrange-ovom riešení:
Rz=322549,9 km,
čo je správne s presnosťou 6%.
A tak ako Mesiac obieha Zem po elipse a jeho vzdialenosť sa mení od 350000 do 400000 tak sa mení aj polomer Lagrange-ovho bodu (bodov).
Presnejší vypočet
Odvodenie vzťahu
je na holandskej wikipedii
https://nl.wikipedia.org/wiki/Lagrangepunt
čo je správne s presnosťou 6%.
A tak ako Mesiac obieha Zem po elipse a jeho vzdialenosť sa mení od 350000 do 400000 tak sa mení aj polomer Lagrange-ovho bodu (bodov).
Presnejší vypočet
Odvodenie vzťahu
je na holandskej wikipedii
https://nl.wikipedia.org/wiki/Lagrangepunt
System | Distance | L1 | 1-L1/SEM % | L2 | L2/SEM-1 % | L3 | (1+L3/SEM)*100 % |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Earth-Moon | 3.844×105 km | 3.2639×105 km | 15.09 | 4.489×105 km | 16.78 | −3.8168×105 km | 0.7084 |
Sun-Mercur | 5.7909×107 km | 5.7689×107 m | 0.3806 | 5.813×107 km | 0.3815 | −5.7909×107 km | 0.0009683 |
Sun-Venus | 1.0821×108 km | 1.072×108 km | 0.9315 | 1.0922×108 km | 0.9373 | −1.0821×108 km | 0.01428 |
Sun-Earth | 1.496×108 km | 1.4811×108 km | 0.997 | 1.511×108 km | 1.004 | −1.496×108 km | 0.01752 |
Sun-Mars | 2.2794×108 km | 2.2686×108 km | 0.4748 | 2.2903×108 km | 0.4763 | −2.2794×108 km | 0.001882 |
Sun-Júpiter | 7.7834×108 km | 7.2645×108 km | 6.667 | 8.3265×108 km | 6.978 | −7.7791×108 km | 5.563 |
Sunl-Saturn | 1.4267×109 km | 1.3625×109 km | 4.496 | 1.4928×109 km | 4.635 | −1.4264×109 km | 1.667 |
Sun-Uran | 2.8707×109 km | 2.8011×109 km | 2.421 | 2.9413×109 km | 2.461 | −2.8706×109 km | 0.2546 |
Sun-Neptun | 4.4984×109 km | 4.3834×109 km | 2.557 | 4.6154×109 km | 2.602 | −4.4983×109 km | 0.3004 |
a link wolfram demo
http://demonstrations.wolfram.com/LagrangePoints/
riešenie bodu gravitačnej rovnováhy cez gravitačný potenciál Up=-G*M/r:
funkcia Up (zelená), jej derivácia je červená a x vyznačuje hodnotu derivácie = 0.
Komentáre
Zverejnenie komentára