Lagrange Points and changing mass m1, m2

Libračné body z pohľadu meniacej sa hmotnosti bodov m1 a m2.

Graf ukazujúci vzdialenosť Lagrange-ových bodov od hmotnosti telies m1(ťažšie) a m2(ľahšie):

Pomer ľahšieho telesa(m2) ku hmotnosti sústavy(m1+m2) je μ 

a teda μ=m2/(m1+m2)

μ má význam pre 0 až 0,5, nakoľko nad 0,5 je vlastne m2 ťažšie ako m1.

Výsledná vzdialenosť od telesa je potom R(vzdialenosť medzi telesami) krát uvedená hodnota funkcie.

Na grafe sú vynesené hodnoty x pre sústavu Zem-Mesiac (μ=Mmesiaca/(Mzeme+Mmesiaca)=0,012153, zaokrúhlene 0,0122)
Hodnota L1 je potom L1=Rzem_mesiac*L1(0,012153)=384 400*0,150954=58 026,9 km od m2(Mesiaca)
Pre L2 64 514,8 km od m2(Mesiaca)
Pre L3 381 674,8 km od m1(Zeme)

Ďalej je vynesená sústava Pluto-Cháron μ=0,1043 a pomyselná binárna sústava napr. Pluto-Pluto μ=0,5.
Sústava Slnko-Zem má μ=3.0025E-6, to je tesne pri y osi.

Zaujímavé je, ako narastajúcim μ klesá L3, od 1 po 0,6996.
Čiže super-ľahký objekt pri ťažkom, barycentrum je vlastne v strede ťažšieho telesa, L3 je na obežnej dráhe (R*1=R),
až po binárnu sústavu m1=m2, kde barycentrum je v strede medzi telesami a L3 je 0,6996*R od m1.

L1 a L2 sa naopak od L3 s narastajúcou hodnotou μ od obežnej dráhy vzďaľujú.
Pri super-ľahkom telese m2 je L1 a L2 na obežnej dráhe (R*0=0 od super-ľahkého),
pri binárnom m1=m2 je L1vlastne v strede (v barycentre)
a L2 sa rovná L3 v km, nakoľko pri m1=m2 je to symetrické a body a označenie m1, m2 sa môžu prehodiť.

To, že sa L2 a L3 nepretnú v μ=0,5 je asi dané numerickým riešením rovníc. (myslím si)

Sústava, kde hmotnosti telies m1 a m2 sú rovnaké:

Označenie L2 a L3, L4 a L5, m1 a m2 sa môže prehodiť, nakoľko je to symetrické.

Je pekne vidieť, ako sa L4 a L5, z pohľadu barycentra, presunuli z 60° na 90° oproti štandardnému zobrazeniu napr. http://www.imagehosting.cz/images/lagrannqn.jpg

Zmenou pomeru hmotnosti sa mení aj uhol L4_barycentrum_m2 (L5_barycentrum_m2).

Tabuľka podla vyššie uvedeného grafu pre sústavu Slnko-Zem, Slnko ...., zoradené podla pomeru hmotnosti μ.
Posledné dva stĺpce sú podľa efektívneho potenciálu.

Lagrange-ove body pri zmene hmotnosti ľahšieho telesa m2 od 0 až po hmotnosť ťažšieho telesa m1.

Na animácii je vidieť, ako sa sedlá s bodmi L1 a L2 s narastajúcou hmotnosť ľahšieho telesa od neho vzďaľujú,
naopak L3 sa približuje k ťažšiemu telesu.
L4 ("hrb" na obežnej dráhe) sa posúva z 60°na 90°.

Sústava stále rotuje okolo barycentra. Tak s pribúdajúcou hmotnosť ľahšieho telesa sa ťažšie vzďaľuje z centra obrázku a pri rovnakej hmotnosti telies je ich vzdialenosť od centra rovnaká, obrázok je symetrický, viď obrázky vyššie.

Vzdialenosť L4 k m1 je vždy rovná R a vzdialenosti k m2, tvoria rovnostranný trojuholník.
Mení sa vzdialenosť L4 k barycentru od R po R*sin60°.
Uhol m2_barycentrum_L4 (zelená) sa zmenou hmotnosti m2 mení od 60 do 90°.
V podstate sa trojuholník m1_L4_m2 presúva - z polohy barycentrum v m1, do polohy barycentrum v strede spojnice m1_m2, (ak by sa pokračovalo teraz s klesajúcou hmotnosťou m1 k nule, tak sa vlastne barycentrum presunie k m2).